圆形 - 练习三

第 26 题

思路

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{面}\mathrm{积}=\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{面}\mathrm{积}÷2$

解答

$10\times 10÷2÷2=25(c{m}^2)$

第 27 题

如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大 28 平方厘米，AB 长 40 厘米。求 BC 的长度。

思路

$\mathrm{因}\mathrm{为}，\mathrm{甲}-\mathrm{乙}=28$

$\mathrm{则}，(\mathrm{甲}+\mathrm{红}\mathrm{色}\mathrm{部}\mathrm{分})-(\mathrm{乙}+\mathrm{红}\mathrm{色}\mathrm{部}\mathrm{分})=28$

$\mathrm{即}，\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}-\mathrm{半}\mathrm{圆}=28$

$\mathrm{由}\mathrm{此}\mathrm{可}\mathrm{算}\mathrm{出}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}ABC\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{就}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{算}\mathrm{出}BC\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{度}。$

解答

$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}ABC\mathrm{面}\mathrm{积}=\pi \times (40÷2{)}^2÷2+28=656(c{m}^2)$

$BC=656\times 2÷40=32.8(cm)$

第 28 题

平行四边形是 1 个正方形和 2 个等腰三角形拼成的，正方形边长 2cm。分别求出圆的面积和 1 个三角形的面积。

思路

$\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{直}\mathrm{径}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}\mathrm{边}\mathrm{长}$

$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{边}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}\mathrm{边}\mathrm{长}$

解答

$\mathrm{圆}\mathrm{面}\mathrm{积}=3.14\times (2÷2{)}^2=3.14(c{m}^2)$

$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{面}\mathrm{积}=2\times 2÷2=2(c{m}^2)$

第 29 题

大正方形边长为 6 厘米，小正方形边长为 4 厘米。扇形 ABC 所在的圆是以 B 为圆心，半径为 AB 的圆。求阴影部分面积。

思路

$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}CDE\mathrm{面}\mathrm{积}=(6+4)\times 4÷2=20(c{m}^2)$

$\mathrm{梯}\mathrm{形}ABCD\mathrm{面}\mathrm{积}=(4+6)\times 4÷2=20(c{m}^2)$

$\mathrm{由}\mathrm{此}\mathrm{可}\mathrm{知}，\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}CDE\mathrm{面}\mathrm{积}=\mathrm{梯}\mathrm{形}ABCD\mathrm{面}\mathrm{积}$

$\mathrm{两}\mathrm{者}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{重}\mathrm{叠}\mathrm{的}\mathrm{红}\mathrm{色}\mathrm{部}\mathrm{分}，\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{出}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}ADF\mathrm{面}\mathrm{积}=\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}BEF\mathrm{面}\mathrm{积}$

$\mathrm{那}\mathrm{么}，\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{面}\mathrm{积}=\frac{1}{4}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

解答

$3.14\times 6^2÷4=28.26(c{m}^2)$

第 30 题

图中是一个正方形和半圆所组成的图形，其中 P 为半圆的中点，Q 为正方形一边上的中点。求阴影部分面积。

思路

连接 PD、PC，转换为求两个三角形和两个弓形的面积。

解答

$\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{面}\mathrm{积}=(10\times 5+5\times 5)÷2=37.5(c{m}^2)$

$\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{弓}\mathrm{形}\mathrm{面}\mathrm{积}=3.14\times 5^2÷2-5\times 5=14.25(c{m}^2)$

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{面}\mathrm{积}=37.5+14.25=51.75(c{m}^2)$

第 31 题

思路

连接 AB、CD 的中点 EF。

方法一：

$\mathrm{右}\mathrm{上}\mathrm{空}\mathrm{白}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}-\frac{1}{4}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=△ABC-\mathrm{右}\mathrm{上}\mathrm{空}\mathrm{白}$

方法二：

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=△AEC+\mathrm{弓}\mathrm{形}EC$

方法三：

$\mathrm{因}\mathrm{为}△AEO=△CFO，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=\frac{1}{4}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

解答

方法一：

$5\times 5-\pi \times 5^2÷4=25-6.25\pi$

$5\times 10÷2=25$

$25-(25-6.25\pi )=6.25\pi =19.625(c{m}^2)$

方法二：

$5\times 5÷2=12.5$

$\pi \times 5^2÷4-5\times 5÷2=6.25\pi -12.5$

$12.5+6.25\pi -12.5=6.25\pi =19.625(c{m}^2)$

方法三：

$\pi \times 5^2÷4=19.625(c{m}^2)$

第 32 题

图中直角三角形 ABC 的直角边 AB 长 4 厘米，BC 长 6 厘米。扇形 BCD 所在圆是以 B 为圆心，半径为 BC 的圆。∠CBD = 50°。问阴影部分甲比乙面积小多少？

思路

$\mathrm{乙}-\mathrm{甲}=(\mathrm{乙}+\mathrm{红}\mathrm{色}\mathrm{部}\mathrm{分})-(\mathrm{甲}+\mathrm{红}\mathrm{色}\mathrm{部}\mathrm{分})$

$\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{转}\mathrm{为}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}ABC\mathrm{比}\mathrm{扇}\mathrm{形}BCD\mathrm{小}\mathrm{多}\mathrm{少}。$

解答

$\pi \times 6^2\times \frac{50}{360}=5\pi (c{m}^2)$

$6\times 4÷2=12(c{m}^2)$

$5\pi -12=15.7-12=3.7(c{m}^2)$

第 33 题

如图，三角形 ABC 为等腰直角三角形，扇形 DEB 为四分之一圆。AB = 5cm，BE = 2cm。求阴影部分面积。

额外知识补充

两个三角形全等的条件：

1. 两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS”。

2. 两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。

3. 两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。

4. 两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。

5. 两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。

注意：证明三角形全等没有“边边角”或“SSA”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等。但是从某种意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。

思路

$\mathrm{因}\mathrm{为}AB=BC，BD=BE，\angle ABD=\angle CBE=45°$

$\mathrm{根}\mathrm{据}“\mathrm{边}\mathrm{角}\mathrm{边}”\mathrm{或}“SAS”，\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{出}△ABC=△CBE$

$\mathrm{则}，\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=△ABC-\frac{1}{4}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

解答

$5^2÷2-\pi \times 2^2÷4$

$=12.5-\pi$

$= 12.5 - 3.14

$=9.36(c{m}^2)$

第 34 题

如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分面积。

思路

$\mathrm{四}\mathrm{个}\mathrm{空}\mathrm{白}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{相}\mathrm{等}，\mathrm{且}\mathrm{内}\mathrm{角}\mathrm{和}\mathrm{为}360°。$

$\mathrm{所}\mathrm{以}，\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{拼}\mathrm{成}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{为}2cm\mathrm{的}\mathrm{圆}\mathrm{形}。$

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=\mathrm{梯}\mathrm{形}-\mathrm{圆}\mathrm{形}$

解答

$(4+7)\times 4÷2-3.14\times 2^2$

$=22-12.56$

$=9.44(c{m}^2)$

第 35 题

大正方形的边长是 8 厘米。一个半径是 1 厘米的圆沿着正方形的内侧滚动了一周，求这个圆滚动的部分的面积。

思路

$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{题}\mathrm{意}，\mathrm{将}\mathrm{圆}\mathrm{滚}\mathrm{动}\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{如}\mathrm{下}\mathrm{图}\mathrm{形}，\mathrm{图}\mathrm{中}\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{圆}\mathrm{滚}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{部}\mathrm{分}。$

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=\mathrm{大}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}-4\mathrm{个}\mathrm{角}\mathrm{的}\mathrm{空}\mathrm{白}\mathrm{部}\mathrm{分}-\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}$

解答

$1\times 1-\pi \times 1^2÷4=1-\frac{1}{4}\pi$

$(8-1\times 2\times 2{)}^2=16$

$8^2-4\times (1-\frac{1}{4}\pi )-16$

$=64-4+\pi -16$

$=44+\pi$

$=47.14(c{m}^2)$

第 36 题

如图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。求花瓣图形的面积。

思路

$\mathrm{连}\mathrm{接}\mathrm{四}\mathrm{个}\mathrm{角}\mathrm{上}\mathrm{小}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{构}\mathrm{成}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}。$

$\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{的}\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}-2\mathrm{个}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

$\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}\mathrm{外}\mathrm{部}\mathrm{的}\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=3\mathrm{个}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

$\mathrm{把}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}\mathrm{内}\mathrm{外}\mathrm{两}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{相}\mathrm{加}。$

$\mathrm{阴}\mathrm{影}\mathrm{部}\mathrm{分}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}-2\mathrm{个}\mathrm{圆}\mathrm{形}+3\mathrm{个}\mathrm{圆}\mathrm{形}=\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}+1\mathrm{个}\mathrm{圆}\mathrm{形}$

解答

$(1\times 4{)}^2+\pi \times 1^2$

$=16+\pi$

$=19.14(c{m}^2)$